Длина дуги трактрисы — различия между версиями

Версия 15:28, 3 сентября 2016

Трактриса

Длина дуги трактрисы — это число, характеризующее протяжённость дуги трактрисы в единицах измерения длины.

Трактриса — это линия, исходящая из вершины M₀ в обе стороны, описываемая точкой M, увлекаемой нерастяжимой нитью LM длиной R, при движении точки L по направляющей (оси абсцисс).

Рассмотрим дуги трактрисы, исходящей из точки (0,R).

Обозначения

Введём обозначения:

x₁ — абсцисса первой точки дуги;

y₁ — ордината первой точки дуги;

t₁ — параметр (меньший) первой точки дуги;

x₂ — абсцисса второй точки дуги;

y₂ — ордината второй точки дуги;

t₂ — параметр (больший) второй точки дуги;

R — высота трактрисы;

L — точка оси абсцисс, являющейся направляющей;

M=(x,y) — точка трактрисы;

M₀=(0,R) — вершина трактрисы;

t — параметрическая переменная;

x=R[cost+lntg(t/2)] — параметрическое уравнение абсциссы трактрисы;

y= Rsint — параметрическое уравнение ординаты трактрисы;

L_{дуг.трак} — длина дуги трактрисы.

Формула

• Заметим, что длина дуги трактрисы M₀M от вершины равна L_t=-Rln|sint|.

Вывод формулы

• Для вывода используется формула "длина дуги плоской кривой" для функции, заданной параметрически.

Другие формулы:

Ссылки

• Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М., 1956, стр.114.
• Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.822.
• Участник:Logic-samara