Длина дуги трактрисы — различия между версиями
| Строка 8: | Строка 8: | ||
Введём обозначения: | Введём обозначения: | ||
| − | '''x<sub>1</sub>''' — абсцисса первой точки | + | '''x<sub>1</sub>''' — абсцисса первой точки; |
| − | '''y<sub>1</sub>''' — ордината первой точки | + | '''y<sub>1</sub>''' — ордината первой точки; |
| − | '''t<sub>1</sub>''' — параметр (меньший) первой точки | + | '''t<sub>1</sub>''' — параметр (меньший) первой точки; |
| − | '''x<sub>2</sub>''' — абсцисса второй точки | + | '''x<sub>2</sub>''' — абсцисса второй точки; |
| − | '''y<sub>2</sub>''' — ордината второй точки | + | '''y<sub>2</sub>''' — ордината второй точки; |
| − | '''t<sub>2</sub>''' — параметр (больший) второй точки | + | '''t<sub>2</sub>''' — параметр (больший) второй точки; |
'''R''' — высота трактрисы; | '''R''' — высота трактрисы; | ||
Версия 16:16, 3 сентября 2016
Длина дуги трактрисы — это число, характеризующее протяжённость дуги трактрисы в единицах измерения длины.
Трактриса — это линия, исходящая из вершины M0 в обе стороны, описываемая точкой M, увлекаемой нерастяжимой нитью LM длиной R, при движении точки L по направляющей (оси абсцисс).
Рассмотрим дуги трактрисы, исходящей из точки (0,R).
Обозначения
Введём обозначения:
x1 — абсцисса первой точки;
y1 — ордината первой точки;
t1 — параметр (меньший) первой точки;
x2 — абсцисса второй точки;
y2 — ордината второй точки;
t2 — параметр (больший) второй точки;
R — высота трактрисы;
L — точка оси абсцисс, являющейся направляющей;
M=(x,y) — точка трактрисы;
M0=(0,R) — вершина трактрисы;
t — параметрическая переменная;
x=R[cost+lntg(t/2)] — параметрическое уравнение абсциссы трактрисы;
y= Rsint — параметрическое уравнение ординаты трактрисы;
Lдуг.трак — длина дуги трактрисы.
Формула
- Заметим, что длина дуги трактрисы M0M от вершины равна Lt=-Rln|sint|.
Вывод формулы
- Для вывода используется формула "длина дуги плоской кривой" для функции, заданной параметрически.
Другие формулы:
- плоская кривая;
- окружность;
- парабола;
- эллипс;
- гипербола;
- синусоида;
- косинусоида;
- циклоида;
- кардиоида;
- астроида;
- эпициклоида;
- гипоциклоида;
- эвольвента;
- цепная линия;
- трактриса;
- лемниската Бернулли.
Ссылки
- Бронштейн М. Н., Семендяев К. А., Справочник по математике. М., 1956, стр.114.
- Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике. М.: Наука, 1964, стр.822.
- Участник:Logic-samara
