Метод простых итераций — различия между версиями
| Строка 2: | Строка 2: | ||
== Описание метода == | == Описание метода == | ||
Суть метода простых итераций состоит в расчётах новой точки '''x''' по старой точке. | Суть метода простых итераций состоит в расчётах новой точки '''x''' по старой точке. | ||
| − | |||
Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения '''ε'''. | Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения '''ε'''. | ||
| + | * Заметим, что модификацией '''[[метода простых итераций]]''' является '''[[Метод Зейделя]]'''. | ||
== Алгоритм решения == | == Алгоритм решения == | ||
Входные данные: '''A, b, ε'''. | Входные данные: '''A, b, ε'''. | ||
| Строка 29: | Строка 29: | ||
[[файл:МПИ03.JPG]] | [[файл:МПИ03.JPG]] | ||
== Другие методы: == | == Другие методы: == | ||
| − | *[[Метод Крамера]] | + | *[[Метод Крамера]]; |
| − | *[[Метод обратной матрицы]] | + | *[[Метод обратной матрицы]]; |
| − | *[[Метод Гаусса]] | + | *[[Метод Гаусса]]; |
| − | *[[Метод простых итераций]] | + | *[[Метод простых итераций]]; |
| − | *[[Метод Зейделя]] | + | *[[Метод Зейделя]]. |
* Для решения систем нелинейных уравнений используется [[метод Ньютона]]. | * Для решения систем нелинейных уравнений используется [[метод Ньютона]]. | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
Версия 06:55, 31 января 2016
Метод простых итераций — это численный метод решения системы линейных уравнений вида Ax=b с заданной точностью ε.
Описание метода
Суть метода простых итераций состоит в расчётах новой точки x по старой точке. Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения ε.
- Заметим, что модификацией метода простых итераций является Метод Зейделя.
Алгоритм решения
Входные данные: A, b, ε.
Выходные данные: x.
Для решения методом простых итераций системы линейных уравнений вида Ax=b (где A — квадратная матрица nxn коэффициентов системы, а b — вектор свободных членов системы), сначала найдём главный определитель системы Δ.
Метод простых итераций применим (то есть метод сходится), если главный определитель системы Δ≠0 и выполняются условия одного из двух случаев:
1) когда хотя бы одна из норм матрицы B=E-A меньше 1:
2) когда все собственные значения матрицы B=E-A по модулю меньше 1.
Для проверки условий 2-го случая необходимо определить величину λ=max{|λ1|,|λ2|,…,|λn|}, где λ1,λ2,…,λn — собственные значения матрицы B, и проверить условие λ<1.
Как правило, матрица B=E-A удовлетворяет указанным условиям, когда на главной диагонали матрицы A находятся доминирующие элементы aii;
Доминирующим элементом aii называется элемент удовлетворяющий неравенству:
Другие методы:
- Метод Крамера;
- Метод обратной матрицы;
- Метод Гаусса;
- Метод простых итераций;
- Метод Зейделя.
- Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.
Ссылки
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
- Участник:Logic-samara
