Метод простых итераций — различия между версиями
Ws (обсуждение | вклад) (Восстановление статей Logic-samara) |
|||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | + | '''Метод простых итераций''' — это численный метод решения системы линейных уравнений вида '''Ax=b''' с заданной точностью '''ε'''. | |
| − | '''Метод простых итераций''' | + | == Описание метода == |
| − | + | ||
Суть метода простых итераций состоит в расчётах новой точки '''x''' по старой точке. | Суть метода простых итераций состоит в расчётах новой точки '''x''' по старой точке. | ||
Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения '''ε'''. | Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения '''ε'''. | ||
| − | |||
== Алгоритм решения == | == Алгоритм решения == | ||
| − | |||
Входные данные: '''A, b, ε'''. | Входные данные: '''A, b, ε'''. | ||
| Строка 14: | Строка 11: | ||
Выходные данные: '''x'''. | Выходные данные: '''x'''. | ||
| − | Для решения методом простых итераций системы линейных уравнений вида '''Ax=b''' (где '''A''' | + | Для решения методом простых итераций системы линейных уравнений вида '''Ax=b''' (где '''A''' — квадратная матрица '''nxn''' коэффициентов системы, а '''b''' — вектор свободных членов системы), сначала найдём главный определитель системы '''Δ'''. |
Метод простых итераций применим (то есть метод сходится), если главный определитель системы '''Δ≠0''' и выполняются условия одного из двух случаев: | Метод простых итераций применим (то есть метод сходится), если главный определитель системы '''Δ≠0''' и выполняются условия одного из двух случаев: | ||
| Строка 24: | Строка 21: | ||
2) когда все собственные значения матрицы '''B=E-A''' по модулю меньше 1. | 2) когда все собственные значения матрицы '''B=E-A''' по модулю меньше 1. | ||
| − | Для проверки условий 2-го случая необходимо определить величину '''λ=max{|λ<sub>1</sub>|,|λ<sub>2</sub>|,…,|λ<sub>n</sub>|}''', где '''λ<sub>1</sub>,λ<sub>2</sub>,…,λ<sub>n</sub>''' | + | Для проверки условий 2-го случая необходимо определить величину '''λ=max{|λ<sub>1</sub>|,|λ<sub>2</sub>|,…,|λ<sub>n</sub>|}''', где '''λ<sub>1</sub>,λ<sub>2</sub>,…,λ<sub>n</sub>''' — собственные значения матрицы '''B''', и проверить условие '''λ<1'''. |
Как правило, матрица '''B=E-A''' удовлетворяет указанным условиям, когда на главной диагонали матрицы '''A''' находятся доминирующие элементы '''a<sub>ii</sub>'''; | Как правило, матрица '''B=E-A''' удовлетворяет указанным условиям, когда на главной диагонали матрицы '''A''' находятся доминирующие элементы '''a<sub>ii</sub>'''; | ||
| Строка 31: | Строка 28: | ||
[[файл:МПИ03.JPG]] | [[файл:МПИ03.JPG]] | ||
| − | |||
== Другие методы: == | == Другие методы: == | ||
*[[Метод Крамера]] | *[[Метод Крамера]] | ||
| Строка 37: | Строка 33: | ||
*[[Метод Гаусса]] | *[[Метод Гаусса]] | ||
*[[Метод Зейделя]] | *[[Метод Зейделя]] | ||
| − | |||
* Для решения систем нелинейных уравнений используется [[метод Ньютона]]. | * Для решения систем нелинейных уравнений используется [[метод Ньютона]]. | ||
| − | |||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
| − | * Демидович Б. П., Марон И. | + | * Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. |
* [[Участник:Logic-samara]] | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
[[Категория:Численные методы]][[Категория:Численные методы линейной алгебры]] | [[Категория:Численные методы]][[Категория:Численные методы линейной алгебры]] | ||
[[Категория:Методы решения СЛАУ]][[Категория:Алгоритмы]] | [[Категория:Методы решения СЛАУ]][[Категория:Алгоритмы]] | ||
Версия 19:48, 15 января 2016
Метод простых итераций — это численный метод решения системы линейных уравнений вида Ax=b с заданной точностью ε.
Описание метода
Суть метода простых итераций состоит в расчётах новой точки x по старой точке.
Итерации продолжаются до достижения необходимой точности решения ε.
Алгоритм решения
Входные данные: A, b, ε.
Выходные данные: x.
Для решения методом простых итераций системы линейных уравнений вида Ax=b (где A — квадратная матрица nxn коэффициентов системы, а b — вектор свободных членов системы), сначала найдём главный определитель системы Δ.
Метод простых итераций применим (то есть метод сходится), если главный определитель системы Δ≠0 и выполняются условия одного из двух случаев:
1) когда хотя бы одна из норм матрицы B=E-A меньше 1:
2) когда все собственные значения матрицы B=E-A по модулю меньше 1.
Для проверки условий 2-го случая необходимо определить величину λ=max{|λ1|,|λ2|,…,|λn|}, где λ1,λ2,…,λn — собственные значения матрицы B, и проверить условие λ<1.
Как правило, матрица B=E-A удовлетворяет указанным условиям, когда на главной диагонали матрицы A находятся доминирующие элементы aii;
Доминирующим элементом aii называется элемент удовлетворяющий неравенству:
Другие методы:
- Метод Крамера
- Метод обратной матрицы
- Метод Гаусса
- Метод Зейделя
- Для решения систем нелинейных уравнений используется метод Ньютона.
Ссылки
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
- Участник:Logic-samara
