СМО с взаимопомощью - История изменений

Logic-samara в 10:16, 18 декабря 2017

2017-12-18T10:16:46Z

Logic-samara в 18:45, 7 июня 2016

2016-06-07T18:45:23Z

Logic-samara в 07:37, 10 февраля 2016

2016-02-10T07:37:53Z

Logic-samara в 18:53, 15 января 2016

2016-01-15T18:53:30Z

Ws: Восстановление статей Logic-samara

2015-11-15T15:06:29Z

Восстановление статей Logic-samara

Новая страница

[[файл:СМО52.JPG|thumb|300|[[Математическая модель]] СМО с взаимопомощью]]
== Определение ==
'''[[СМО с отказами и взаимопомощью|СМО с взаимопомощью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой всегда есть взаимопомощь между каналами обслуживания: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается всеми каналами, если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается частью каналов, иначе если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов и число мест в очереди, то она становится в очередь, в остальных случаях заявка покидает систему (теряется).

== Постановка задачи ==
На вход '''n'''-канальной СМО с '''m'''-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала '''μ'''. Интенсивность потока обслуживания с взаимопомощью между каналами всегда равна '''nμ'''.

Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается всеми '''n'''-каналами одновременно, при этом производительность увеличивается в '''n'''-раз. После окончания обслуживания все каналы освобождаются одновременно.

Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе одну заявку, то она принимается на обслуживание: часть каналов обслуживает первую заявку, часть приступает к обслуживанию второй заявки. Разделение каналов совершенно произвольное.

Если система обслуживает '''k'''-заявок ('''k=1,n-1'''), то вновь прибывшая заявка принимается на обслуживание и все '''(k+1)'''-заявок обслуживаются '''n'''-каналами, распределёнными произвольно между заявками, но так, что все каналы заняты обслуживанием. Попавшая на обслуживание заявка обслуживается до конца (заявки терпеливые).

Если обслуживание какой-либо заявки окончено, то освободившаяся группа каналов присоединяется к обслуживанию остальных заявок, находящихся в системе. Таким образом, при наличии в системе хотя бы одной заявки все '''n'''-каналов всё время будут заняты.

Если система обслуживает '''n'''-заявок ('''k=n'''), то каждая из них обслуживается одним каналом, а вновь прибывшая заявка встаёт в очередь и ожидает освобождения хотя бы одного из каналов.

Если в системе имеется '''(n+r)'''-заявок ('''r=1,m-1'''), то '''n'''-заявок из них обслуживаются и '''r'''-заявок ожидают в очереди, а вновь прибывшая заявка становится в очередь. Максимальное число мест в очереди '''m'''.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди '''m'''-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.

== Граф состояний ==
Граф состояний имеет вид:

[[файл:СМО50.JPG]]

Рассмотрим множество состояний системы:

'''S0''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;

'''S1''' – в системе имеется одна заявка, она обслуживается всеми '''n'''-каналами;

'''S2''' – в системе имеется две заявки, они обслуживается '''n'''-каналами;

'''…''';

'''Sk''' – в системе имеется '''k'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами;

'''…''';

'''Sn''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами, очереди нет;

'''Sn+1''' – в системе имеется '''(n+1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а одна заявка ожидает в очереди;

'''…''';

'''Sn+r''' – в системе имеется '''(n+r)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, каналами, а '''r'''-заявок ожидают в очереди;

'''…''';

'''Sn+m''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок ожидают в очереди;

== Система дифференциальных уравнений ==
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:

[[файл:СМО52.JPG]]

Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞''').

Система уравнений принимает вид:

[[файл:СМО53.JPG]]

Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,n+m'''), получаем упрощённый вид системы.

Решим систему относительно '''p0,p1,…,pn+m'''.

[[файл:СМО54.JPG]]

В результате получаем решение системы:
[[файл:СМО55.JPG]]

== Основные характеристики системы ==

[[файл:СМО56.JPG]]

При '''χ≠1''' получаем

[[файл:СМО57.JPG]]

При '''χ=1''' получаем

[[файл:СМО58.JPG]]

== Другие СМО: ==
* [[СМО с отказами]];
* [[СМО с очередью]];
* [[СМО с ограниченным временем ожидания]];
* [[СМО замкнутая]] с очередью;
* [[СМО с отказами и взаимопомощью]];
* [[СМО с бесконечным числом каналов]];
* [[СМО с бесконечной очередью]];
* [[СМО замкнутая без очереди]].

== Ссылки ==
* Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
* [[Участник:Logic-samara]]
[[Категория:Случайные процессы]]
[[Категория:Логистика]]

@@ Строка 82: / Строка 82: @@
 [[файл:СМО58.JPG]]
-== Другие СМО: ==
+== [[Система массового обслуживания|Другие СМО:]] ==
 {{Список СМО}}
 == Ссылки ==

@@ Строка 83: / Строка 83: @@
 [[файл:СМО58.JPG]]
 == Другие СМО: ==
-* [[СМО с отказами]];
+{{Список СМО}}
-* [[СМО с очередью]];
-* [[СМО с ограниченным временем ожидания]];
-* [[СМО замкнутая]] с очередью;
-* [[СМО с взаимопомощью]] с очередью;
-* [[СМО с отказами и взаимопомощью]];
-* [[СМО с бесконечным числом каналов]];
-* [[СМО с бесконечной очередью]];
-* [[СМО замкнутая без очереди]].
 == Ссылки ==
 * Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
 * [[Участник:Logic-samara]]
 [[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
 [[файл:СМО52.JPG|thumb|300|[[Математическая модель]] СМО с взаимопомощью]]
 '''[[СМО с отказами и взаимопомощью|СМО с взаимопомощью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой всегда есть взаимопомощь между каналами обслуживания: если заявка приходит, в момент, когда все каналы свободны, то она немедленно обслуживается всеми каналами, если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов, то она немедленно обслуживается частью каналов, иначе если заявка приходит - когда уже обслуживаются заявки числом меньше, чем число каналов и число мест в очереди, то она становится в очередь, в остальных случаях заявка покидает систему (теряется).
-== Постановка задачи ==
+Интенсивность потока обслуживания с взаимопомощью между каналами всегда равна '''nμ'''.
-На вход '''n'''-канальной СМО с '''m'''-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала '''μ'''. Интенсивность потока обслуживания с взаимопомощью между каналами всегда равна '''nμ'''.
-Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается всеми '''n'''-каналами одновременно, при этом производительность увеличивается в '''n'''-раз. После окончания обслуживания все каналы освобождаются одновременно.
+Если заявка застаёт все каналы свободными, она принимается на обслуживание и обслуживается всеми '''n'''-каналами одновременно, при этом производительность увеличивается в '''n'''-раз.
 Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе одну заявку, то она принимается на обслуживание: часть каналов обслуживает первую заявку, часть приступает к обслуживанию второй заявки. Разделение каналов совершенно произвольное.
-Если система обслуживает '''k'''-заявок ('''k=1,n-1'''), то вновь прибывшая заявка принимается на обслуживание и все '''(k+1)'''-заявок обслуживаются '''n'''-каналами, распределёнными произвольно между заявками, но так, что все каналы заняты обслуживанием. Попавшая на обслуживание заявка  обслуживается до конца (заявки терпеливые).
+Если система обслуживает '''k'''-заявок ('''k=1,n-1'''), то вновь прибывшая заявка принимается на обслуживание и все '''(k+1)'''-заявок обслуживаются '''n'''-каналами, распределёнными произвольно между заявками, но так, что все каналы заняты обслуживанием.
 Если обслуживание какой-либо заявки окончено, то освободившаяся группа каналов присоединяется к обслуживанию остальных заявок, находящихся в системе. Таким образом, при наличии в системе хотя бы одной заявки все '''n'''-каналов всё время будут заняты.
@@ Строка 17: / Строка 21: @@
 Если в системе имеется '''(n+r)'''-заявок ('''r=1,m-1'''), то '''n'''-заявок из них обслуживаются и '''r'''-заявок ожидают в очереди, а вновь прибывшая заявка становится в очередь. Максимальное число мест в очереди '''m'''.
 Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди '''m'''-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.
 == Граф состояний ==
 [[файл:СМО50.JPG]]
@@ Строка 45: / Строка 48: @@
 '''…''';
-'''S<sub>n+r</sub>''' – в системе имеется '''(n+r)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, каналами, а '''r'''-заявок ожидают в очереди;
+'''S<sub>n+r</sub>''' – в системе имеется '''(n+r)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''r'''-заявок ожидают в очереди;
 '''…''';
 '''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок ожидают в очереди;
 == Система дифференциальных уравнений ==
 Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
@@ Строка 70: / Строка 72: @@
 В результате получаем решение системы:
 [[файл:СМО55.JPG]]
 == Основные характеристики системы ==
 [[файл:СМО56.JPG]]
@@ Строка 82: / Строка 82: @@
 [[файл:СМО58.JPG]]
 == Другие СМО: ==
 * [[СМО с отказами]];
@@ Строка 92: / Строка 91: @@
 * [[СМО с бесконечной очередью]];
 * [[СМО замкнутая без очереди]].
 == Ссылки ==
 * Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
 * [[Участник:Logic-samara]]
-[[Категория:Случайные процессы]]
+[[Категория:Случайные процессы]][[Категория:Логистика]]
 [[Категория:Логистика]]