Арифметика - История изменений

Ws: Откат правок Сперма Глот (обсуждение) к версии Logic-samara

2020-10-18T20:41:57Z

Откат правок Сперма Глот (обсуждение) к версии Logic-samara

: Содержимое страницы заменено на «хуита»

2020-10-17T17:45:37Z

Содержимое страницы заменено на «хуита»

Logic-samara в 12:06, 4 мая 2017

2017-05-04T12:06:05Z

Logic-samara в 12:04, 4 мая 2017

2017-05-04T12:04:46Z

Logic-samara в 10:37, 4 мая 2017

2017-05-04T10:37:05Z

Logic-samara в 10:35, 4 мая 2017

2017-05-04T10:35:31Z

Ws: Восстановление статей Logic-samara

2015-11-15T15:05:07Z

Восстановление статей Logic-samara

Новая страница

'''Арифметика''' — исторически первый раздел [[математика|математики]], изучающий [[натуральные числа|натуральные]] и [[целые числа|целые]] [[числа]].

Элементарная арифметика доступна детям дошкольного возраста и сводится к технике [[сложение|сложения]], [[вычитание|вычитания]] и [[умножение|умножения]], а также [[деление|деления]] большего числа́ на меньшее.

Высшая арифметика — [[Теория чисел]] — изучает закономерности целых чисел с применением понятий и операций, определяемых для более сложных математических объектов, таких, как [[действительные числа]].

== Арифметика в школе ==
{{youtube|nc0jNoCUyvI|BBC История единицы. Откуда появились цифры}}
Математическое [[образование]] практически во всех случаях начинается с арифметики. Для [[представление|записи]] чисел со Средних Веков и поныне наиболее широко используются [[арабские цифры]], и детей приучают к [[алгоритм]]ам умножения и деления, оптимальным для [[Десятичная система счисления|десятичной]] позиционной [[системы счисления]]: умножение и деление [[столбиком]]. Арифметические соотношения «небольших» чисел предлагается запоминать в уме, например, через [[таблица умножения|таблицу умножения]].

Через арифметику проходит знакомство с практикой познания, необходимой в дальнейшем изучении математики: связывая числа через арифметические операции и [[скобки]], вводится понятие о [[выражение|выражениях]] и об их упрощении через [[логика|логический]] процесс [[вычисление|вычисления]]. Через понятия об [[уравнение|уравнении]] и [[переменная величина|переменной]] далее проводится изучение того [[язык]]а, на котором преподаётся [[алгебра]], [[геометрия]], [[статистика]], [[математический анализ]], [[логика высказываний]] и любые теории, вовлекающие [[функция|функциональный]] подход.

Обучение арифметики развивает логическое мышление детей, их сообразительность. В средней школе далее изучают [[расширение понятия числа|расширения понятия о числе]]: рациональные, алгебраические, действительные, комплексные. Соответствующие разделы теории принято объединять в учебную дисциплину высшей педагогической школы под названием «теоретическая арифметика».

== История арифметики ==
Арифметика и [[геометрия]] — давние спутники человека. Эти науки появились тогда, когда возникла необходимость считать предметы, измерять [[территория|земельные участки]] и [[время]]. Арифметика возникла в странах древнего Востока: [[Вавилон]]е, [[Китай|Китае]], [[Индия|Индии]], [[Египет|Египте]]. Например, египетский папирус Ахмеса (названный по имени его владельца Г. Ахмеса) датируется двадцатым веком до нашей эры.

Математические знания накопленные в странах Древнего Востока развивались дальше учеными [[Древняя Греция|Древней Греции]]. История сохранила имена многих ученых, занимавшихся арифметикой в античном мире: [[Анаксагор]], [[Зенон]], [[Евклид]], [[Архимед]], [[Эратосфен]], [[Диофант]]. Особенно стоит выделить имя [[Пифагор]]а, пифагорейцы (ученики и последователи Пифагора) обожали числа, считая, что в них содержится вся [[гармония мира]]. Отдельным числам и парам чисел приписывались особые свойства. В большом почете были числа [[7]] и [[36]], тогда же было обращено внимание на так называемые [[совершенные числа]], [[дружественные числа]].

Египетская, греческая и римская системы счисления (записи чисел) были непозиционными. Позиционными были шумерско-вавилонская система (на основе числа [[60]]) и система [[майя]] (на основе числа [[20]]), хотя в них вместо цифр использовалась аддитивная система с [[линия]]ми и [[точка]]ми.

В [[средневековье]] развитие арифметики также связано с Востоком: Индией, арабским миром и Средней Азией. От индийцев пришли к нам десятичная система счисления, современные цифры (использовались в произведениях [[Ариабхата I|Ариабхаты I]] (начало VI в.)), ноль ([[Брахмагупта]] VII в.); от аль-Каши (XV в.), который работал в Самаркандской обсерватории [[Улугбек]]а, — десятичные [[дроби]].

Одновременно с изобретением книгопечатания (середина XV в.) появились первые печатные [[книги]] по математике. Первая печатная книга по арифметике была издана в Италии в 1478 году. В «Полной арифметике» немецкого математика Михаэля Штифеля (начало XVI в.) уже есть отрицательные числа и даже идея логарифмирования. Примерно с XVI в. развитие арифметики сливается с алгеброй. Значительными событиями были труды [[Франсуа Виет]]а, в которых числа обозначены буквами. Начиная с этого времени основные арифметические правила осознаются уже окончательно с позиций [[алгебра|алгебры]].

== Описание ==
Основной объект арифметики — [[число]]. [[Натуральные числа]] возникли со счетом конкретных предметов. С развитием языка люди усвоили, что две птицы, две руки, два человека можно назвать одним и тем же словом — «[[два]]». Важная задача арифметики — научиться абстрагироваться от формы предметов, их размера, цвета. Уже у [[Фибоначчи]] появляется задача: «Семь [[женщина|женщин]] идут в [[Рим]]. У каждой по 7 [[мул]]ов, каждый мул несет по 7 [[мешок|мешков]], в каждом мешке по 7 [[хлеб]]ов, в каждом хлебе 7 [[нож]]ей, каждый нож в 7 [[ножны|ножнах]]. Сколько всех?» Для решения этой задачи подытожить различные сущности, добавить женщин к мулам, мешки к хлебам и так до конца. Развитие понятия числа — появление нуля и отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей, способы записи чисел (цифры, обозначения, системы счисления) — все это имеет богатую и интересную историю.

В арифметике числа добавляют, вычитают, умножают и делят. Искусство быстро и безошибочно выполнять эти действия над любыми числами долго считалось важнейшей задачей арифметики. В наше время устно или на бумаге мы делаем лишь простейшие вычисления, а сложные — с помощью вычислительной техники. Математические операции могут быть записаны с использованием соответствующих символов «+», «-», «×» и «÷» и знака равенства «=», например
: 3 + 4 × 5 = 23.

Записанные таким образом арифметические операции выполняются в определенном порядке, который называют очередностью операций: сначала умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Последовательность выполнения операций можно изменить с помощью скобок.

[[Позиционная система счисления]] позволила упростить арифметические операции, сводя их к действиям с цифрами в одном разряде, поэтому практически для выполнения вычислений достаточно помнить результаты операции сложения в пределах 20 и таблицу умножения в пределах 100.

Для дальнейшего упрощения арифметических операций традиционно изобретению калькуляторов использовались счеты, а для умножения — логарифмические линейки.

Среди важных понятий, которые ввела арифметика, были [[пропорции]] и [[процент]]ы. Большинство понятий и методов математики основывается на зависимостях между числами. В истории математики процесс слияния арифметики и геометрии происходил на протяжении многих веков. Можно четко проследить «геометризацию» арифметики: сложные правила и закономерности, выраженные формулами, становится понятнее, если удается изобразить их геометрически. Большую роль в самом математике и ее приложениях играет обратный процесс — перевод геометрической информации на язык чисел (см. [[Графические вычисления]]). В основе этого переводе играет идея французского философа и математика [[Рене Декарт]]а об определении точек на плоскости координатами. Разумеется, до него эта идея уже использовалась, например, в морском деле, когда надо было определить местонахождение корабля, а также в [[астрономия|астрономии]], [[геодезия|геодезии]]. Но именно от Декарта и его учеников идет последовательное применение языка координат. И в наше время при управлении сложными процессами (например, полетом [[космический аппарат|космического аппарата]]) предпочитают иметь всю информацию в виде чисел.

==Смотрите также==
* [[Деление полиномов в столбик]]

[[Категория:Арифметика]]
[[Категория:Математика]]

← Предыдущая		Версия 20:41, 18 октября 2020
Строка 1:		Строка 1:
−	~~хуита~~	+	'''Арифметика''' — исторически первый раздел [[математика\|математики]], изучающий [[натуральные числа\|натуральные]] и [[целые числа\|целые]] [[числа]].
		+
		+	Элементарная арифметика доступна детям дошкольного возраста и сводится к технике [[сложение\|сложения]], [[вычитание\|вычитания]] и [[умножение\|умножения]], а также [[деление\|деления]] большего числа́ на меньшее.
		+
		+	Высшая арифметика — [[Теория чисел]] — изучает закономерности целых чисел с применением понятий и операций, определяемых для более сложных математических объектов, таких, как [[действительные числа]].
		+
		+	== Арифметика в школе ==
		+	{{youtube\|nc0jNoCUyvI\|BBC История единицы. Откуда появились цифры}}
		+	Математическое [[образование]] практически во всех случаях начинается с арифметики. Для [[представление\|записи]] чисел со Средних Веков и поныне наиболее широко используются [[арабские цифры]], и детей приучают к [[алгоритм]]ам умножения и деления, оптимальным для [[Десятичная система счисления\|десятичной]] позиционной [[Система счисления\|системы счисления]]: умножение и деление [[столбиком]]. Арифметические соотношения «небольших» чисел предлагается запоминать в уме, например, через [[таблица умножения\|таблицу умножения]].
		+
		+	Через арифметику проходит знакомство с практикой познания, необходимой в дальнейшем изучении математики: связывая числа через арифметические операции и [[скобки]], вводится понятие о [[выражение\|выражениях]] и об их упрощении через [[логика\|логический]] процесс [[вычисление\|вычисления]]. Через понятия об [[уравнение\|уравнении]] и [[переменная величина\|переменной]] далее проводится изучение того [[язык]]а, на котором преподаётся [[алгебра]], [[геометрия]], [[статистика]], [[математический анализ]], [[логика высказываний]] и любые теории, вовлекающие [[функция\|функциональный]] подход.
		+
		+	Обучение арифметики развивает логическое мышление детей, их сообразительность. В средней школе далее изучают [[расширение понятия числа\|расширения понятия о числе]]:[[Рациональные числа\|рациональные]], алгебраические, [[Действительные числа\|действительные]], [[Комплексные числа\|комплексные]]. Соответствующие разделы теории принято объединять в учебную дисциплину высшей педагогической школы под названием «теоретическая арифметика».
		+
		+	== История арифметики ==
		+	Арифметика и [[геометрия]] — давние спутники человека. Эти науки появились тогда, когда возникла необходимость считать предметы, измерять [[территория\|земельные участки]] и [[время]]. Арифметика возникла в странах древнего Востока: [[Вавилон]]е, [[Китай\|Китае]], [[Индия\|Индии]], [[Египет\|Египте]]. Например, египетский папирус Ахмеса (названный по имени его владельца Г. Ахмеса) датируется двадцатым веком до нашей эры.
		+
		+	Математические знания накопленные в странах Древнего Востока развивались дальше учеными [[Древняя Греция\|Древней Греции]]. История сохранила имена многих ученых, занимавшихся арифметикой в античном мире: [[Анаксагор]], [[Зенон]], [[Евклид]], [[Архимед]], [[Эратосфен]], [[Диофант]]. Особенно стоит выделить имя [[Пифагор]]а, пифагорейцы (ученики и последователи Пифагора) обожали числа, считая, что в них содержится вся [[гармония мира]]. Отдельным числам и парам чисел приписывались особые свойства. В большом почете были числа [[7]] и [[36]], тогда же было обращено внимание на так называемые [[совершенные числа]], [[дружественные числа]].
		+
		+	Египетская, греческая и римская системы счисления (записи чисел) были непозиционными. Позиционными были шумерско-вавилонская система (на основе числа [[60]]) и система [[майя]] (на основе числа [[20]]), хотя в них вместо цифр использовалась аддитивная система с [[линия]]ми и [[точка]]ми.
		+
		+	В [[средневековье]] развитие арифметики также связано с Востоком: Индией, арабским миром и Средней Азией. От индийцев пришли к нам десятичная система счисления, современные цифры (использовались в произведениях [[Ариабхата I\|Ариабхаты I]] (начало VI в.)), ноль ([[Брахмагупта]] VII в.); от аль-Каши (XV в.), который работал в Самаркандской обсерватории [[Улугбек]]а, — десятичные [[дроби]].
		+
		+	Одновременно с изобретением книгопечатания (середина XV в.) появились первые печатные [[книги]] по математике. Первая печатная книга по арифметике была издана в Италии в 1478 году. В «Полной арифметике» немецкого математика Михаэля Штифеля (начало XVI в.) уже есть отрицательные числа и даже идея логарифмирования. Примерно с XVI в. развитие арифметики сливается с алгеброй. Значительными событиями были труды [[Франсуа Виет]]а, в которых числа обозначены буквами. Начиная с этого времени основные арифметические правила осознаются уже окончательно с позиций [[алгебра\|алгебры]].
		+
		+	== Описание ==
		+	Основной объект арифметики — [[число]]. [[Натуральные числа]] возникли со счетом конкретных предметов. С развитием языка люди усвоили, что две птицы, две руки, два человека можно назвать одним и тем же словом — «[[два]]». Важная задача арифметики — научиться абстрагироваться от формы предметов, их размера, цвета. Уже у [[Фибоначчи]] появляется задача: «Семь [[женщина\|женщин]] идут в [[Рим]]. У каждой по 7 [[мул]]ов, каждый мул несет по 7 [[мешок\|мешков]], в каждом мешке по 7 [[хлеб]]ов, в каждом хлебе 7 [[нож]]ей, каждый нож в 7 [[ножны\|ножнах]]. Сколько всех?» Для решения этой задачи подытожить различные сущности, добавить женщин к мулам, мешки к хлебам и так до конца. Развитие понятия числа — появление нуля и отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей, способы записи чисел (цифры, обозначения, системы счисления) — все это имеет богатую и интересную историю.
		+
		+	В арифметике числа добавляют, вычитают, умножают и делят. Искусство быстро и безошибочно выполнять эти действия над любыми числами долго считалось важнейшей задачей арифметики. В наше время устно или на бумаге мы делаем лишь простейшие вычисления, а сложные — с помощью вычислительной техники. Математические операции могут быть записаны с использованием соответствующих символов «+», «-», «×» и «÷» и знака равенства «=», например
		+	: 3 + 4 × 5 = 23.
		+
		+	Записанные таким образом арифметические операции выполняются в определенном порядке, который называют очередностью операций: сначала умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Последовательность выполнения операций можно изменить с помощью скобок.
		+
		+	Позиционная [[система счисления]] позволила упростить арифметические операции, сводя их к действиям с цифрами в одном разряде, поэтому практически для выполнения вычислений достаточно помнить результаты операции сложения в пределах 20 и таблицу умножения в пределах 100.
		+
		+	Для дальнейшего упрощения арифметических операций традиционно изобретению калькуляторов использовались счеты, а для умножения — логарифмические линейки.
		+
		+	Среди важных понятий, которые ввела арифметика, были [[пропорции]] и [[процент]]ы. Большинство понятий и методов математики основывается на зависимостях между числами. В истории математики процесс слияния арифметики и геометрии происходил на протяжении многих веков. Можно четко проследить «геометризацию» арифметики: сложные правила и закономерности, выраженные формулами, становится понятнее, если удается изобразить их геометрически. Большую роль в самом математике и ее приложениях играет обратный процесс — перевод геометрической информации на язык чисел (см. [[Графические вычисления]]). В основе этого переводе играет идея французского философа и математика [[Рене Декарт]]а об определении точек на плоскости координатами. Разумеется, до него эта идея уже использовалась, например, в морском деле, когда надо было определить местонахождение корабля, а также в [[астрономия\|астрономии]], [[геодезия\|геодезии]]. Но именно от Декарта и его учеников идет последовательное применение языка координат. И в наше время при управлении сложными процессами (например, полетом [[космический аппарат\|космического аппарата]]) предпочитают иметь всю информацию в виде чисел.
		+
		+	==Смотрите также==
		+	* [[Деление многочлена (полинома) на многочлен]]
		+
		+	[[Категория:Арифметика]]
		+	[[Категория:Математика]]

@@ Строка 1: / Строка 1: @@
-'''Арифметика''' — исторически первый раздел [[математика|математики]], изучающий [[натуральные числа|натуральные]] и [[целые числа|целые]] [[числа]].
+хуита
-−
-Элементарная арифметика доступна детям дошкольного возраста и сводится к технике [[сложение|сложения]], [[вычитание|вычитания]] и [[умножение|умножения]], а также [[деление|деления]] большего числа́ на меньшее.
-−
-Высшая арифметика — [[Теория чисел]] — изучает закономерности целых чисел с применением понятий и операций, определяемых для более сложных математических объектов, таких, как [[действительные числа]].
-−
-== Арифметика в школе ==
-{{youtube|nc0jNoCUyvI|BBC История единицы. Откуда появились цифры}}
-Математическое [[образование]] практически во всех случаях начинается с арифметики. Для [[представление|записи]] чисел со Средних Веков и поныне наиболее широко используются [[арабские цифры]], и детей приучают к [[алгоритм]]ам умножения и деления, оптимальным для [[Десятичная система счисления|десятичной]] позиционной [[Система счисления|системы счисления]]: умножение и деление [[столбиком]]. Арифметические соотношения «небольших» чисел предлагается запоминать в уме, например, через [[таблица умножения|таблицу умножения]].
-−
-Через арифметику проходит знакомство с практикой познания, необходимой в дальнейшем изучении математики: связывая числа через арифметические операции и [[скобки]], вводится понятие о [[выражение|выражениях]] и об их упрощении через [[логика|логический]] процесс [[вычисление|вычисления]]. Через понятия об [[уравнение|уравнении]] и [[переменная величина|переменной]] далее проводится изучение того [[язык]]а, на котором преподаётся [[алгебра]], [[геометрия]], [[статистика]], [[математический анализ]], [[логика высказываний]] и любые теории, вовлекающие [[функция|функциональный]] подход.
-−
-Обучение арифметики развивает логическое мышление детей, их сообразительность. В средней школе далее изучают [[расширение понятия числа|расширения понятия о числе]]:[[Рациональные числа|рациональные]], алгебраические, [[Действительные числа|действительные]], [[Комплексные числа|комплексные]]. Соответствующие разделы теории принято объединять в учебную дисциплину высшей педагогической школы под названием «теоретическая арифметика».
-−
-== История арифметики ==
-Арифметика и [[геометрия]] — давние спутники человека. Эти науки появились тогда, когда возникла необходимость считать предметы, измерять [[территория|земельные участки]] и [[время]]. Арифметика возникла в странах древнего Востока: [[Вавилон]]е, [[Китай|Китае]], [[Индия|Индии]], [[Египет|Египте]]. Например, египетский папирус Ахмеса (названный по имени его владельца Г. Ахмеса) датируется двадцатым веком до нашей эры.
-−
-Математические знания накопленные в странах Древнего Востока развивались дальше учеными [[Древняя Греция|Древней Греции]]. История сохранила имена многих ученых, занимавшихся арифметикой в античном мире: [[Анаксагор]], [[Зенон]], [[Евклид]], [[Архимед]], [[Эратосфен]], [[Диофант]]. Особенно стоит выделить имя [[Пифагор]]а, пифагорейцы (ученики и последователи Пифагора) обожали числа, считая, что в них содержится вся [[гармония мира]]. Отдельным числам и парам чисел приписывались особые свойства. В большом почете были числа [[7]] и [[36]], тогда же было обращено внимание на так называемые [[совершенные числа]], [[дружественные числа]].
-−
-Египетская, греческая и римская системы счисления (записи чисел) были непозиционными. Позиционными были шумерско-вавилонская система (на основе числа [[60]]) и система [[майя]] (на основе числа [[20]]), хотя в них вместо цифр использовалась аддитивная система с [[линия]]ми и [[точка]]ми.
-−
-В [[средневековье]] развитие арифметики также связано с Востоком: Индией, арабским миром и Средней Азией. От индийцев пришли к нам десятичная система счисления, современные цифры (использовались в произведениях [[Ариабхата I|Ариабхаты I]] (начало VI в.)), ноль ([[Брахмагупта]] VII в.); от аль-Каши (XV в.), который работал в Самаркандской обсерватории [[Улугбек]]а, — десятичные [[дроби]].
-−
-Одновременно с изобретением книгопечатания (середина XV в.) появились первые печатные [[книги]] по математике. Первая печатная книга по арифметике была издана в Италии в 1478 году. В «Полной арифметике» немецкого математика Михаэля Штифеля (начало XVI в.) уже есть отрицательные числа и даже идея логарифмирования. Примерно с XVI в. развитие арифметики сливается с алгеброй. Значительными событиями были труды [[Франсуа Виет]]а, в которых числа обозначены буквами. Начиная с этого времени основные арифметические правила осознаются уже окончательно с позиций [[алгебра|алгебры]].
-−
-== Описание ==
-Основной объект арифметики — [[число]]. [[Натуральные числа]] возникли со счетом конкретных предметов. С развитием языка люди усвоили, что две птицы, две руки, два человека можно назвать одним и тем же словом — «[[два]]». Важная задача арифметики — научиться абстрагироваться от формы предметов, их размера, цвета. Уже у [[Фибоначчи]] появляется задача: «Семь [[женщина|женщин]] идут в [[Рим]]. У каждой по 7 [[мул]]ов, каждый мул несет по 7 [[мешок|мешков]], в каждом мешке по 7 [[хлеб]]ов, в каждом хлебе 7 [[нож]]ей, каждый нож в 7 [[ножны|ножнах]]. Сколько всех?» Для решения этой задачи подытожить различные сущности, добавить женщин к мулам, мешки к хлебам и так до конца. Развитие понятия числа — появление нуля и отрицательных чисел, обыкновенных и десятичных дробей, способы записи чисел (цифры, обозначения, системы счисления) — все это имеет богатую и интересную историю.
-−
-В арифметике числа добавляют, вычитают, умножают и делят. Искусство быстро и безошибочно выполнять эти действия над любыми числами долго считалось важнейшей задачей арифметики. В наше время устно или на бумаге мы делаем лишь простейшие вычисления, а сложные — с помощью вычислительной техники. Математические операции могут быть записаны с использованием соответствующих символов «+», «-», «×» и «÷» и знака равенства «=», например
-: 3 + 4 × 5 = 23.
-−
-Записанные таким образом арифметические операции выполняются в определенном порядке, который называют очередностью операций: сначала умножение и деление, а потом сложение и вычитание. Последовательность выполнения операций можно изменить с помощью скобок.
-−
-Позиционная [[система счисления]] позволила упростить арифметические операции, сводя их к действиям с цифрами в одном разряде, поэтому практически для выполнения вычислений достаточно помнить результаты операции сложения в пределах 20 и таблицу умножения в пределах 100.
-−
-Для дальнейшего упрощения арифметических операций традиционно изобретению калькуляторов использовались счеты, а для умножения — логарифмические линейки.
-−
-Среди важных понятий, которые ввела арифметика, были [[пропорции]] и [[процент]]ы. Большинство понятий и методов математики основывается на зависимостях между числами. В истории математики процесс слияния арифметики и геометрии происходил на протяжении многих веков. Можно четко проследить «геометризацию» арифметики: сложные правила и закономерности, выраженные формулами, становится понятнее, если удается изобразить их геометрически. Большую роль в самом математике и ее приложениях играет обратный процесс — перевод геометрической информации на язык чисел (см. [[Графические вычисления]]). В основе этого переводе играет идея французского философа и математика [[Рене Декарт]]а об определении точек на плоскости координатами. Разумеется, до него эта идея уже использовалась, например, в морском деле, когда надо было определить местонахождение корабля, а также в [[астрономия|астрономии]], [[геодезия|геодезии]]. Но именно от Декарта и его учеников идет последовательное применение языка координат. И в наше время при управлении сложными процессами (например, полетом [[космический аппарат|космического аппарата]]) предпочитают иметь всю информацию в виде чисел.
-−
-==Смотрите также==
-* [[Деление многочлена (полинома) на многочлен]]
-−
-[[Категория:Арифметика]]
-[[Категория:Математика]]